x(x y) + y(x + y)

By Admin 21/11/2023 0
Nicht-negative Lösungspaare der Gleichung

Im Allgemeinen ist die Exponentiation zweier reeller Zahlen nicht kommutativ. Die Gleichung hat trotzdem unendlich viele Lösungen.[1][2] Eine Lösung ist .[3]

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gleichung wird in einem Brief von Daniel Bernoulli an Christian Goldbach vom 29. Juni 1728 erwähnt.[4] Der Brief enthält die Aussage, dass die einzigen beiden Lösungen der obigen Gleichung, wobei natürliche Zahlen sein sollen, bzw. sind. Die Antwort von Goldbach vom 31. Januar 1729[4] enthält allgemeine Lösungen der Gleichung, die durch die Substitution erhalten wurden. Eine ähnliche Lösung wurde von Leonhard Euler gefunden.[2]

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J. cầu xin Hengel wies darauf hin, dass für natürliche Zahlen und folgendes gilt: .[5] Es genügt also, und zu betrachten, um alle Lösungen für natürliche Zahlen zu bestimmen.

Das Problem wurde in mehreren Publikationen behandelt.[2][4] Im Jahre 1960 kam die Gleichung in der William Lowell Putnam Competition vor,[6] was Alvin Hausner dazu bewog, die Ergebnisse auf algebraische Zahlkörper auszudehnen.[2][7]

Nicht-negative reelle Lösungspaare[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptquelle:[3]

Eine unendliche Menge von „trivialen“ Lösungen ist durch die Bedingung gegeben.

Wir suchen also nach nicht-negativen Lösungspaaren (), für die gilt. Es kann angenommen werden, domain authority die einzige triviale Lösung, für die oder gilt, ist. Wir können also für genau ein t schreiben, wobei gilt. Die Gleichung lautet jetzt:

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.

Durch Anwendung der -ten Wurzel und Dividieren durch auf beiden Seiten ergibt sich also:

.

Da per Definition ist, lassen sich also alle nicht-negativen, nicht-trivialen Lösungspaare folgendermaßen schreiben ():

,
.

Zudem sind für alle obigen Paare Lösungen der Gleichung. Setzt man beispielsweise beziehungsweise , ví erhält man die oben genannte Lösung .

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Andere Lösungspaare, die aus algebraischen Zahlen bestehen, sind beispielsweise und , sowie und .

Der Schnittpunkt der zu den obigen Lösungen gehörigen Kurve lặng und der Kurve liegt bei (mit stetiger Fortsetzung) . In diesem Fall ist

.

Der Schnittpunkt liegt also bei .

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Rational Solutions to lớn x^y = y^x. In: CTK Wiki Math.
  • x^y = y^x - commuting powers. In: Arithmetical and Analytical Puzzles. Torsten Sillke, archiviert vom Original am 28. Dezember 2015.
  • dborkovitz: Parametric Graph of x^y = y^x. GeoGebra, 29. Januar 2012.
  • Folge A073084 in OEIS

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. ↑ Leonard E. Dickson: History of the Theory of Numbers. Band II. Washington 1920, S. 687 (google.com).
  2. ↑ a b c d Marta Sved: On the Rational Solutions of xy = yx. In: Mathematics Magazine. 1990 (maa.org (Memento des Originals vom 4. März năm nhâm thìn lặng Internet Archive)).
  3. ↑ a b Lajos Lóczi: On commutative and associative powers. In: KöMaL. (komal.hu (Memento des Originals vom 15. Oktober 2002 lặng Internet Archive)). Translation of: Mikor kommutatív, illetve asszociatív a hatványozás? Archiviert vom Original am 6. Mai 2016 (ungarisch).
  4. ↑ a b c David Singmaster: Sources in recreational mathematics: an annotated bibliography. 8th preliminary edition. Archiviert vom Original am 16. April 2004.
  5. ↑ Johann cầu xin Hengel: Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung ab = ba genügt. In: Bericht über das Königliche Gymnasium zu Emmerich. 1888 (uni-duesseldorf.de).
  6. ↑ Andrew Gleason, R. E. Greenwood, Leroy Milton Kelly: The William Lowell Putnam mathematical competition problems and solutions: 1938-1964. Hrsg.: MAA. 1980, ISBN 0-88385-428-7, S. 59 (google.com).
  7. ↑ Algebraic Number Fields and the Diophantine Equation mn = nm. In: The American Mathematical Monthly. November 1961.