cho tam giác abc vuông tại a trung tuyến am

Điểm đối xứng qua quýt D là vấn đề symmetrical của M qua quýt D.

Bạn đang xem: cho tam giác abc vuông tại a trung tuyến am

Để chứng tỏ rằng điểm E là vấn đề đối xứng của M qua quýt trung điểm D của cạnh AB, tớ cần thiết chứng tỏ rằng DE tuy vậy song với cạnh AB và DE = AM.
Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Vì D là trung điểm, nên AD = DB.
Theo fake thiết, tam giác ABC vuông bên trên A và AM là lối trung tuyến, tớ đem AM = MC.
Do tê liệt, tớ đem ME = (AM - AE) = (MC - AE).
Vì D là trung điểm của AB, nên AD = DB. Suy đi ra AE = EM.
Vậy, tớ đem ME = (MC - EM) = MC/2 = AM/2.
Vì AM = 2ME, nên tớ đem DE tuy vậy song với AB bám theo đặc thù của trung điểm.
Suy đi ra, điểm E là vấn đề đối xứng của M qua quýt trung điểm D của cạnh AB.
Vậy, tớ vẫn chứng tỏ điều cần chứng tỏ.

Để tính số đo góc ABD, tất cả chúng ta nên biết số đo góc MAD và chứng tỏ rằng tam giác MAD cân nặng bên trên điểm A.
Bước 1: Vẽ tam giác ABC với góc vuông bên trên đỉnh A và trục trung tuyến AM.
Bước 2: Trên tia đối của tia MA, lựa chọn một điểm M sao mang đến MD = MA.
Bước 3: Xác ấn định số đo góc MAD. Sử dụng ấn định lý Pythagoras nhập tam giác vuông MAD, tớ đem MD^2 = MA^2 + AD^2. Vì MD = MA, tớ đem MA^2 = MA^2 + AD^2. Loại quăng quật những bộ phận tất cả chúng ta đem AD^2 = 0. Vì vậy, AD = 0 và góc MAD là góc ko.
Bước 4: Dựa nhập đặc thù của tam giác cân nặng, tớ hiểu được nhì góc ở đỉnh của tam giác thăng bằng nhau. Vì góc MAD là góc ko, nên góc ABD cũng chính là góc ko.
Do tê liệt, số đo góc ABD là 0.

Ta cần thiết chứng tỏ tam giác ABC đồng dạng với tam giác BAD, với BA là cạnh chứa chấp góc vuông và BD là cạnh chứa chấp góc ABD.
- Cách 1: Vẽ lối trung tuyến AM, kết phù hợp với trung điểm D của AB và điểm dối trá xứng E của M qua quýt D.
- Cách 2: sít dụng đặc thù của lối trung tuyến, tớ có: AD = DM = MB.
- Cách 3: Do tam giác ABC vuông bên trên A, nên góc A, góc vuông B và góc ABC nằm trong phía trên cung nửa tròn trĩnh.
- Cách 4: Vì AD = DM = MB, nên tam giác ABD đem nhì cạnh cân nhau là AD và BD, kể từ tê liệt suy đi ra góc ABD cũng chính là góc vuông.
- Cách 5: Ta đem góc BAD = góc ABD bởi góc ABD và góc BAD nằm trong là góc vuông.
- Cách 6: Từ bước 5, tớ đem nhì góc nằm trong vì như thế và cạnh công cộng BA, nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác BAD bám theo nguyên tắc đồng dạng góc - cạnh - góc.
Vậy, vẫn chứng tỏ được tam giác ABC đồng dạng với tam giác BAD, với BA là cạnh chứa chấp góc vuông và BD là cạnh chứa chấp góc ABD.

Để tính diện tích S tam giác ABM, tất cả chúng ta nên biết cạnh AB và cạnh BM.
Vì tam giác ABC là tam giác vuông bên trên A, nên tớ đem những đẳng thức sau đây:
AB^2 = AC^2 + BC^2 (định lý Pythagoras)
Vì vẫn biết AC = 8cm, tất cả chúng ta cần thiết lần BC nhằm tính được AB.
Dựa nhập lối trung tuyến AM, tớ có:
2BM = AC
Do tê liệt,
BM = AC/2 = 8/2 = 4 centimet.
Tiếp bám theo, tớ tính AB:
AB^2 = AC^2 + BC^2
AB^2 = 8^2 + 4^2
AB^2 = 64 + 16
AB^2 = 80
AB = √80 = 4√5 centimet.
Sau Lúc vẫn biết AB = 4√5 centimet và BM = 4 centimet, tất cả chúng ta rất có thể tính diện tích S tam giác ABM vì như thế công thức sau:
Diện tích tam giác ABM = (1/2) * AB * BM
= (1/2) * 4√5 * 4
= 8√5 cm^2.
Vậy, diện tích S tam giác ABM là 8√5 cm^2.

Để tính phỏng lâu năm trung tuyến AM của tam giác ABC, tớ rất có thể dùng công thức sau:
AM = AB * sin(ABC)
Trong tê liệt, AB là phỏng lâu năm cạnh AB của tam giác ABC và góc ABC là góc ABC của tam giác ABC.
Đầu tiên, tớ cần thiết xác lập độ quý hiếm sin(ABC). Để thực hiện điều này, tớ nên biết vấn đề thêm thắt về góc ABC. Nếu đem vấn đề về góc ABC, tớ rất có thể tính sin(ABC) bằng phương pháp dùng độ quý hiếm sin hoặc dùng PC hoặc phần mềm đo lường bên trên Smartphone địa hình.
Sau Lúc vẫn biết độ quý hiếm của sin(ABC), tớ rất có thể tính phỏng lâu năm trung tuyến AM bằng phương pháp nhân độ quý hiếm này với phỏng lâu năm cạnh AB.
Ví dụ:
Giả sử tớ biết cạnh AB của tam giác ABC có tính lâu năm là 5 và góc ABC có mức giá trị là 30 phỏng.
Đầu tiên, tớ cần thiết tính độ quý hiếm sin(30 độ). Từ độ quý hiếm sin, tớ biết sin(30 độ) = 0.5.
Sau tê liệt, tớ tính phỏng lâu năm trung tuyến AM bằng phương pháp nhân 5 với 0.5:
AM = 5 * 0.5 = 2.5
Vậy phỏng lâu năm trung tuyến AM của tam giác ABC lúc biết phỏng lâu năm cạnh AB là 5 và góc ABC là 30 phỏng là 2.5.

Giả sử AM tách BC bên trên điểm N. Ta hiểu được nhập tam giác vuông, lối trung tuyến vì như thế 50% đoạn trực tiếp nối nhì đỉnh ko vuông góc cùng nhau. Vì vậy, tớ đem BN = NC và AM = MN.
Với AC là lối cao của tam giác ABC, tớ rất có thể dùng ấn định lý Pythagore nhập tam giác vuông nhằm tính phỏng lâu năm của cạnh BC. Theo ấn định lý Pythagore, tớ có:
AB^2 + AC^2 = BC^2
Với tam giác vuông, tớ cũng rất có thể dùng đặc thù của lối trung tuyến và lối cao. Theo ấn định lý Pythagore, tớ có:
AM^2 + MN^2 = AN^2
Thay nhập tê liệt với AM = 6cm và AC = 10cm, tớ có:
6^2 + MN^2 = AN^2
36 + MN^2 = AN^2
Vì AM = MN, tớ cũng có:
AM^2 + MN^2 = AN^2
6^2 + MN^2 = AN^2
Do tê liệt, tớ đem hệ phương trình:
36 + MN^2 = AN^2
36 + MN^2 = 6^2 + MN^2
Hai phía của phương trình bên trên đều sở hữu MN^2, nên tớ rất có thể vô hiệu hóa bọn chúng nhằm thu được:
36 = 36
Điều này Có nghĩa là Reviews về phỏng lâu năm cạnh BC không xẩy ra tác động vì như thế MN và AN. Vì vậy, nhằm tính phỏng lâu năm cạnh BC, tớ chỉ việc dùng ấn định lý Pythagore bên trên tam giác vuông ABC và thay cho nhập số liệu vẫn cho:
AB^2 + AC^2 = BC^2
10^2 + 6^2 = BC^2
100 + 36 = BC^2
136 = BC^2
Do tê liệt, phỏng lâu năm cạnh BC của tam giác ABC là căn bậc nhì của 136:
BC = √136.
Vậy, phỏng lâu năm cạnh BC của tam giác ABC là √136 centimet.

Chúng tớ cần thiết chứng tỏ rằng trung tuyến AM của tam giác ABC phân tách song đoạn trực tiếp BC.
Để chứng tỏ điều này, tớ tiếp tục dùng ấn định lý trung tuyến nhập tam giác. Định lý trung tuyến cho thấy thêm \"Đường trung tuyến nhập tam giác phân tách song đoạn trực tiếp đối lập với nó\".
- Cách 1: Gọi D là trung điểm của đoạn trực tiếp AB. Vì tam giác ABC là tam giác vuông bên trên A, nên trung điểm D của AB cũng chính là trung điểm của cạnh BC.
- Cách 2: Gọi E là vấn đề dối trá xứng với M qua quýt D. Ta rất có thể coi E là vấn đề bên trên đường thẳng liền mạch BC. Vì D là trung điểm của AB nên DE cũng chính là trung tuyến của tam giác ABC.
- Cách 3: Ta cần thiết chứng tỏ rằng AM phân tách song DE. Tức là AM = ME.
- Cách 4: Ta tiếp tục dùng đặc thù của điểm dối trá xứng. Vì E là vấn đề dối trá xứng của M qua quýt D nên DE = DM.
- Cách 5: Vì D là trung điểm của AB, nên DM = MA.
- Cách 6: Từ bước 4 và bước 5, tớ đem DE = DM = MA.
- Cách 7: Như vậy, tớ vẫn chứng tỏ được rằng AM = ME. Từ tê liệt suy đi ra trung tuyến AM phân tách song đoạn trực tiếp DE.
- Cách cuối cùng: Do DE là đoạn trực tiếp bên trên đường thẳng liền mạch BC, nên trung tuyến AM cũng phân tách song đoạn trực tiếp BC.
Vậy, tất cả chúng ta vẫn chứng tỏ được rằng trung tuyến AM của tam giác ABC phân tách song đoạn trực tiếp BC.

Để tính tỷ trọng thân thiện phỏng lâu năm những cạnh của tam giác ABC Lúc lối trung tuyến AM vì như thế nửa chu vi AB, tất cả chúng ta cần dùng một số trong những công thức và quy tắc nhập lý thuyết tam giác.
Đầu tiên, kể từ ĐK lối trung tuyến AM vì như thế nửa chu vi AB, tớ đem AM = MB. Do tê liệt, tam giác ABM là 1 trong những tam giác cân nặng bên trên đỉnh M.
Khi tam giác ABC vuông bên trên đỉnh A, tớ đem những quy tắc sau:
1. Quy tắc Pythagoras: Cạnh huyền bình phương vì như thế tổng bình phương nhì cạnh góc vuông:
AC^2 = AB^2 + BC^2
2. Quy tắc lối trung tuyến nhập tam giác vuông:
AM^2 = BM^2 = AB^2 / 4
Áp dụng quy tắc lối trung tuyến nhập tam giác vuông, tớ có:
AB^2 = 4 * AM^2 = 4 * BM^2
Substitute độ quý hiếm AM^2 = BM^2 nhập công thức của quy tắc Pythagoras, tớ có:
AC^2 = 4 * BM^2 + BC^2
Tiếp bám theo, tớ tiếp tục tính tỷ trọng thân thiện phỏng lâu năm những cạnh. Gọi k là tỷ trọng thân thiện phỏng lâu năm cạnh BC và cạnh AB. Vậy, cạnh BC = k * AB.
Áp dụng tỷ trọng k nhập công thức của quy tắc Pythagoras:
AC^2 = 4 * BM^2 + (k * AB)^2
= 4 * BM^2 + k^2 * AB^2
= 4 * AM^2 + k^2 * AB^2 (do AM^2 = BM^2)
= 4 * AM^2 + k^2 * (4 * AM^2) (do AB^2 = 4 * AM^2)
= 4 * AM^2 + 4 * k^2 * AM^2
= 4 * (1 + k^2) * AM^2
Vì AC = k * AB, tớ đem AC^2 = k^2 * AB^2. Substitute độ quý hiếm AC^2 nhập công thức trên:
k^2 * AB^2 = 4 * (1 + k^2) * AM^2
Simplify biểu thức:
k^2 = 4 * (1 + k^2)
k^2 = 4 + 4k^2
3k^2 = 4
k^2 = 4/3
k = √(4/3) (lấy căn bậc nhì bên trên cả nhì phía)
Vậy, tỷ trọng thân thiện phỏng lâu năm những cạnh của tam giác ABC là √(4/3) hoặc rất có thể ghi chép gọn gàng là 2√3/3.

Để chứng tỏ rằng tam giác ABC là tam giác vuông bên trên đỉnh A nếu như và chỉ nếu như tổng bình phương phỏng lâu năm hai tuyến phố trung tuyến AM và BM vì như thế bình phương phỏng lâu năm cạnh còn sót lại (AC hoặc BC), tớ dùng ấn định lí Pythagoras.
Gọi tam giác ABC là tam giác vuông bên trên A. Ta cần thiết chứng tỏ AM^2 + BM^2 = AC^2 (hoặc AM^2 + BM^2 = BC^2).
Đầu tiên, tất cả chúng ta hiểu được nhập một tam giác vuông, phỏng lâu năm của lối trung tuyến vì như thế 50% phỏng lâu năm cạnh mặt mày góc vuông. Vì vậy, AM = MC và BM = MC.
Áp dụng ấn định lí Pythagoras nhập tam giác vuông AMC (hoặc tam giác vuông BMC), tớ có:
AM^2 + MC^2 = AC^2 (hoặc BM^2 + MC^2 = BC^2).
Vì AM = MC và BM = MC, nên tớ có:
2(MC)^2 = AC^2 (hoặc 2(MC)^2 = BC^2).
Từ tê liệt suy ra:
AM^2 + BM^2 = 2(MC)^2.
Nếu tam giác ABC là tam giác vuông bên trên A, thì MC là nửa phỏng lâu năm của cạnh còn sót lại. Vì vậy, tớ có:
AM^2 + BM^2 = 2(MC)^2 = AC^2 (hoặc AM^2 + BM^2 = 2(MC)^2 = BC^2).
Vậy, tớ vẫn chứng tỏ được rằng tam giác ABC là tam giác vuông bên trên đỉnh A nếu như và chỉ nếu như tổng bình phương phỏng lâu năm hai tuyến phố trung tuyến AM và BM vì như thế bình phương phỏng lâu năm cạnh còn sót lại (AC hoặc BC).

Xem thêm: khu vực mỹ la tinh có đặc điểm tự nhiên nào